Els infants han anat assentant el seu comptatge tot ampliant la memorització de la sèrie numèrica passant pels típics “dideus” i “vint-i-deus”… En aquests moments es va consolidant una imatge numèrica de les quantitats superiors al 9 totalment unitària. Imaginaran el vint-i-tres com una pila d’unitats més petita que la que forma el cinquanta-quatre però ambdues igualment indefinides (les quantitats ja són indefinides per l’espècie humana).
Amb aquesta imatge de nombre l’operativitat (transformacions de les quantitats) no és possible si no els portem cap a l’abstracció. Mostrant-los els passos a fer per resoldre els diferents algoritmes (operacions). Des de ben petits els portem al món abstracte i els mostrem recursos perquè aquestes quantitats (món concret) siguin representades com a grafies numèriques que transcriuran i llegiran fàcilment en el nostre idioma català ja que aquest ens ofereix pistes de quin és l’ordre i el valor de les grafies que constitueixen els nombres.
Exemple: trenta-quatre un 3 i un 4.
El problema sorgeix amb l’onze el qual no dona pistes de cap grafia, el setze que sona a 7 i no hi ha cap 7 enlloc (els castellans ho tenen millor això… tenen un dieciseis un diecisiete), el cent dos que no ens ofereix pistes de l’existència d’un zero en la posició central….
De totes maneres no ens podem queixar ja que de forma relativament senzilla els nostres infants se’n surten en escriure i llegir números… però això és quedar-nos en superfície, en la part més simbòlica de les quantitats. Els hem d’oferir la possibilitat que construeixin i puguin veure les diferents quantitats estructurades en base 10. Tant sols d’aquesta manera podran trobar recursos propis per fer càlculs i a posteriori entendre qualsevol altra sistema numèric com el de l’amplada dels angles, el binari emprat en programació, saber que 2+2 no sempre són 4… sinó que serà 11 si enfoquem la nostra mirada en base 3.
Per aquest motiu la proposta és oferir-los materials, jocs i activitats que els ajudin a construir una imatge amb base 10 de totes les quantitats superiors al nou.
En aquest punt us he de presentar dos materials que per a mi són bàsics en la meva tasca diària amb els infants que descobreixen els nombres grans.
El material de representació de la base 10: Un material fet de fusta on hi ha unitats representades per cubs de 1x1x1cm, desenes representades per unes barretes de 10x1x1cm (els infants poden veure com 10 unitats caldrà canviar-les per una desena ja que alineades ocupen el mateix espai i mostren una mateixa forma), centenes representades per unes plaques de 10x10x1cm (els infants poden veure com 10 desenes caldrà canviar-les per una centena ja que arrenglerades una al costat de l’altre ocupen el mateix espai i mostren una mateixa forma) i unitats de miler, que ells acostumen anomenar la “milena”, formades per uns cubs pesats i de grans dimensions 10x10x10 cm que els encanten!!! (els infants poden veure com 10 centenes caldrà canviar-les per una unitat de miler ja que apilades una sobre l’altra ocupen el mateix volum i mostren la mateixa forma).
Amb aquest material cadascun dels elements del nostre sistema numèric és una peça diferent (cubs petits, barretes, plaques i cubs grans) que l’adult associa a un nom (unitats, desenes, centenes i unitats de miler) que els permetran associar tota quantitat a una representació simbòlic estructurada en base 10 però totalment palpable per les seves mans i mirada.
Quan els nens i les nenes associen les diferents quantitats a aquest tipus de representació i estructura en base 10 la quantitat deixa de ser unitària per prendre una forma totalment assumible per l’imaginari d’un infant i amb questa imatge mental o física podrà operar les quantitats reproduint les diferents realitats donades realitzant sumes, restes, multiplicacions, divisions, cercar l’arrel de la quantitat al disposar-la en forma de quadrat, oferir forma de quadrat a la quantitat, oferir forma de cub a la quantitat donada….
Deixo escrita també la meva opinió envers algunes preguntes que se m’acostuma a fer…
“Material de base 10 ratllat o llis?” Es considera que el rallat cobreix les necessitats dels infants en un estadi d’abstracció més primerenc. La meva vivència em porta a optar per una base 10 llisa precisament en aquest estadi primerenc.
Quan jo comparteixo amb els infants la norma del nostre sistema numèric on tenim símbols per representar fins la quantitat nou unitats i conseqüentment al tenir deu unitats cal que realitzin una transformació a una desena (un altre estructura que conté les 10 unitats però té una identitat pròpia) aquests transformen les seves piles d’unitats tot aconseguint desenes. Un cop fets tots els canvis els pregunto… “Quantes desenes teniu?” si la desena és llisa em diuen la quantitat de “barretes” que tenen; en canvi si la desena és ratllada molts d’ells conten les unitats que encara són visibles en certa manera. La meva percepció és que les marques de les unitats que constitueixen les desenes fan que sigui més difícil percebre la desena com a estructura nova amb identitat pròpia.
Amb això no voldria que cap persona entengués que les desenes són independents de les unitats… És molt important que els infants obtinguin les desenes que conté el seu nombre gràcies a l’alineació dels grups de deu unitats de la seva quantitat inicial expressada de forma unitària.
Ara bé… si teniu material de base 10 segmentat no passa res… el feu servir feliços i felices perquè estic parlant d’observacions molt fines (i a part totalment personals) que no deixarà cap infant sense comprensió de la base 10.
“Jo utilitzo pedretes per representar les unitats, castanyes per representar les desenes i pinyes per les centenes perquè el material és molt car…” Efectivament no és un material econòmic ja que gaudeix de molta precisió i de naturalesa noble (fusta) però val molt la pena emprar material concret com aquest.
En primer lloc perquè per el nen o la nena que ara l’adult a la pedra la rebategi amb el nom d’unitat i a la castanya amb el nom de desena…. es percep com una cosa totalment de l’adult que depèn de la seva arbitrarietat. L’infant sap que allò és una castanya i no vol anomenar-la d’altra manera.
Per altra banda la norma que 10 pedres te les canvio per una castanya i 10 castanyes per una pinya… torna a ser quelcom molt arbitrari i difícil de pair ja que no existeix correspondència.
Més d’una dia hi ha alguna desena o unitat perduda en un racó de l’ambient i el seu trobador se m’apropa i em diu tot mostrant-me la peça de fusta…”m’he trobat una desena”, “acabo de trepitjar una unitat i m’he fet mal…” Aquestes peces mai abans vistes poden empoderar-se més fàcilment d’un nom propi i els canvis són totalment comprensibles.
Si no es disposa de diners per comprar aquest material jo us recomanaria que el féssiu amb cartolina i que cada element coincidís amb les dimensions de 10 elements de l’ordre inferior. Evidentment les unitats de miler seran més complexes… tot i que no impossibles.
“Jo faig servir àbacs en aquestes edats…així els queda molt més clar el sistema posicional de cada ordre i entenen perfectament cada xifra del nombre a quin ordre representa” L’àbac és totalment posicional serveix per representar un quantitat escrita sobre un sistema de boletes posicionades en barretes dins d’un marc. L’infant no parteix de la quantitat física unitària i la converteix a estructura en base 10 veient la correspondència entre els diferents ordres… sinó que necessita partir d’una xifra donada (món simbòlic) per representar-lo sobre un material.
Les transformacions amb aquest material són molt més abstractes ja que canviar deu boletes d’una barra situada més a la dreta o dalt per una boleta de la barra de l’esquerra o a baix és quelcom on l’infant no hi veu gaire correspondència tot i que ho prendrà com a bo ja que ve de l’adult.
Per mi l’ús d’àbacs, taulells foradats, taptanas… és magnífic ja que aportarà noves vivències, assentarà coneixements i flexibilitzarà estructures… però quan la maduresa dels nens i nenes sigui més gran.
Els números llargs Montessori:Aquest és l’altre material, del que jo considero com a imprescindibles, per acompanyar la descoberta de les quantitats superiors a nou i el seu pas al món simbòlic de l’escriptura matemàtica.
Els infants partiran de la seva quantitat representada amb les estructures de la base 10 i podran transcriure la quantitat concreta al món simbòlic. Tot oferint que els nens i nenes busquin on estan representades la quantitat de centenes, desenes i unitats que té el seu nombre. D’aqueta manera obtindran 3 llistonets de diferents longituds ja que les centenes estan representades amb els dos zeros corresponents, les desenes amb el zero corresponent i les unitats ocupant un espai únic. Aquests llistonets es sobreposaran ordenats de més gran a més petits i es faran lliscar recolzats sobre una superfície cap a la dreta.
El fet de fer lliscar tot recolzat sobre superfície plana és per evitar que les col·loquin alineades. A posteriori ells i elles ho col·loquen directament tot arrenglerat sobre un mateix eix a la dreta.
Partint d’una quantitat escrita també es podrà fer servir aquest material per reproduir-la i descobrir de quins elements està composat el nombre i posteriorment donar-li forma amb el material de representació de la base 10.
La vivència dels infants és molt diferent si els donem moltes representacions de cada grafia i els demanem que representin la quantitat de cada ordre emprant unitats que una vegada alineades donen forma simbòlica a la quantitat però que si un cop de vent les mou no podrem mai saber si aquella grafia correspon a les desenes a les centenes o a les unitats.
En aquesta imatge direm que està escrit tres desenes o trenta unitats (però com que el nom el tenim estructurat en base 10 no té gaire sentit de fer referència a les unitats en aquest cas).
… de la mateixa manera que oferiré totes les representacions de les centenes i els hi demanaré que busquin on està escrit el nombre de centenes que té el seu nombre.
Si econòmicament no us podeu permetre la compra d’aquest material de fusta tant interessant per la web hi ha un munt d’arxius pdf disponibles i idees boniques a pinterest que el faciliten a tota escola o família.
